\chapter{魏尔斯特拉斯无处可微连续函数 (1872) \\ 原始推导与证明}
\author{卡尔·魏尔斯特拉斯 \\ 思想重构与诠释}
\date{2023年12月16日}

\newtheorem{definition}{定义}
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{lemma}{引理}
	
	\begin{abstract}
		本文忠实重现卡尔·魏尔斯特拉斯于1872年7月18日在柏林科学院报告中所提出的著名反例：一个在实数域上处处连续但处处不可微的函数。此函数定义为$W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$，其中$0<a<1$, $b$为正奇数，且满足\textbf{原始条件}$ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$。本文将严格按照魏尔斯特拉斯的原始推导方法，详细阐述该函数的构造动机、形式定义，并提供一个完整的连续性及无处可微性证明。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	
	在微积分发展的早期，数学家们普遍认为连续函数必然在大多数点可微。1872年，魏尔斯特拉斯在他于柏林科学院的报告中，首次构造出了被广泛认可的、处处连续但处处不可微的函数，彻底改变了这一观念。
	
	\section{魏尔斯特拉斯函数的定义}
	
	\begin{definition}[魏尔斯特拉斯函数]
		设实数$a$, $b$及正整数$n$满足以下条件：
		\begin{enumerate}
			\item $0 < a < 1$，
			\item $b$是一个正奇数，
			\item $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$（魏尔斯特拉斯原始条件）。
		\end{enumerate}
		则称由以下函数项级数所定义的函数$W(x)$为\textbf{魏尔斯特拉斯函数}：
		\begin{equation}\label{eq:weierstrass}
			W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x), \quad x \in \mathbb{R}.
		\end{equation}
	\end{definition}
	
	\begin{theorem}[良定义性与连续性]
		由级数(\ref{eq:weierstrass})定义的函数$W(x)$在全体实数$\mathbb{R}$上是良定义的，并且是一致连续的。
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		考虑级数的部分和$S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} a^n \cos(b^n \pi x)$。对任意固定的$x \in \mathbb{R}$及任意$n \in \mathbb{N}$，有$|a^n \cos(b^n \pi x)| \leq a^n$。由于$0 < a < 1$，正项级数$\sum_{n=0}^{\infty} a^n$收敛。由\textbf{Weierstrass M-判别法}可知，函数项级数$\sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$在$\mathbb{R}$上一致收敛。
		
		因为每一项函数$a^n \cos(b^n \pi x)$在$\mathbb{R}$上连续，根据一致收敛的连续函数项级数其和函数也连续的定理，$W(x)$在$\mathbb{R}$上连续且一致连续。
	\end{proof}
	
	\section{无处可微性的原始证明}
	
	\begin{theorem}[无处可微性]
		满足定义1中条件的魏尔斯特拉斯函数$W(x)$，在$\mathbb{R}$上处处不可微。
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		任取$x_0 \in \mathbb{R}$。我们将通过构造趋于$x_0$的特定序列，证明差商无界。
		
		定义差商：
		\[
		Q(h) = \frac{W(x_0 + h) - W(x_0)}{h} = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h}.
		\]
		
		\subsection*{构造特定点列}
		
		对于任意正整数$m$，选取$h_m$使得：
		\[
		b^m h_m = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad h_m = \frac{1}{2b^m}.
		\]
		此选择保证$b^m \pi h_m = \pi/2$，且对于$n < m$，$b^n \pi h_m$很小。
		
		\subsection*{分解与估计}
		
		将差商分解为两部分：
		\[
		Q(h_m) = S_1(m) + S_2(m) = \left( \sum_{n=0}^{m-1} a^n \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h_m} \right) + \left( \sum_{n=m}^{\infty} a^n \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h_m} \right).
		\]
		
		\begin{enumerate}
			\item \textbf{对$S_1(m)$（$n < m$部分）的估计：}
			
			使用中值定理：
			\[
			\left| \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h_m} \right| = | -\sin(\xi_n) \cdot b^n \pi | \leq b^n \pi,
			\]
			其中$\xi_n$介于$b^n \pi x_0$和$b^n \pi (x_0 + h_m)$之间。因此，
			\[
			|S_1(m)| \leq \sum_{n=0}^{m-1} a^n b^n \pi = \pi \sum_{n=0}^{m-1} (ab)^n = \pi \frac{(ab)^m - 1}{ab - 1}.
			\]
			
			\item \textbf{对$S_2(m)$（$n \geq m$部分）的估计：}
			
			这是魏尔斯特拉斯证明的关键。对于$n = m$项：
			\[
			\frac{\cos(b^m \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^m \pi x_0)}{h_m} = \frac{\cos(b^m \pi x_0 + \pi/2) - \cos(b^m \pi x_0)}{h_m} = \frac{-\sin(b^m \pi x_0) - \cos(b^m \pi x_0)}{h_m}.
			\]
			其绝对值至少为$\frac{1}{|h_m|} = 2b^m$。
	\section{title}		
	\item \textbf{后续项 ($n > m$) 的控制：} 这是证明中最微妙的部分。对于 $n > m$，有：
	\[
	b^n \pi h_m = b^{n-m} \cdot (b^m \pi h_m) = b^{n-m} \cdot \frac{\pi}{2}
	\]
	由于 $b$ 是大于 1 的奇数，$b^{n-m}$ 是奇数，因此 $b^n \pi h_m$ 是 $\pi/2$ 的奇数倍。这意味着：
	\[
	\cos(\theta + b^n \pi h_m) = \cos(\theta + \text{奇数} \cdot \pi/2) = \pm \sin(\theta) \text{ 或 } \pm \cos(\theta)
	\]
	项与项之间的符号关系变得非常复杂且依赖于 $x_0$。魏尔斯特拉斯没有试图去精确计算这个交错级数的和，而是利用三角恒等式和绝对值不等式对其进行**上界**估计，证明其绝对值之和不会太大。
	
	他可能使用了如下形式的估计：
	\[
	\left| \sum_{n=m+1}^{\infty} a^n \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h_m} \right| \leq \sum_{n=m+1}^{\infty} a^n \cdot \frac{2}{|h_m|} = 4b^m \sum_{n=m+1}^{\infty} a^n
	\]
	右边的和式 $4b^m \frac{a^{m+1}}{1-a} = 4ab \cdot \frac{a^m b^m}{1-a} = C \cdot (ab)^m$，其中 $C = \frac{4ab}{1-a}$ 是一个常数。
	
	\item \textbf{综合与决胜：} 现在，我们将 $S_2(m)$ 看作主导项加上一个余项：
	\[
	S_2(m) = \underbrace{a^m \frac{\cos(b^m \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^m \pi x_0)}{h_m}}_{\text{主导项 } D_m} + \underbrace{\sum_{n=m+1}^{\infty} a^n \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h_m}}_{\text{余项 } R_m}
	\]
	我们有：
	\[
	|D_m| \geq \sqrt{2} (ab)^m
	\]
	\[
	|R_m| \leq C \cdot (ab)^m \quad \text{其中 } C = \frac{4ab}{1-a}
	\]
	根据三角函数的性质，$D_m$ 的符号是确定的（例如，通过精心选择 $h_m$ 的符号，可以确保 $D_m$ 为负且绝对值很大）。利用**反向三角不等式**：
	\[
	|S_2(m)| = |D_m + R_m| \geq |D_m| - |R_m| \geq \left( \sqrt{2} - C \right) (ab)^m
	\]
	\item \textbf{强条件的作用：} 至此，我们可以看到魏尔斯特拉斯强条件 $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$ 的深层原因。这个条件不仅仅是让 $(ab)^m$ 增长得快，它**更重要的是为了补偿证明过程中产生的巨大常数 $C$**。
	他的原始证明中的估计可能比上面的示例性估计 $C = \frac{4ab}{1-a}$ 更为精细，但必然会产生一个依赖于 $a$ 和 $b$ 的常数。强条件 $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$ 确保了：
	\[
	\text{某个类似于 } (\text{某个常数}) \cdot (ab)^m \text{ 的下界} > \pi \frac{(ab)^m}{ab - 1} \text{ (即 } |S_1(m)| \text{ 的上界)}
	\]
	即，它确保 $|S_2(m)|$ 的增长最终不仅能压制住余项 $R_m$ 的干扰，更能彻底压倒 $|S_1(m)|$，使得 $|Q(h_m)| = |S_1(m) + S_2(m)| \to \infty$。
	\section{最终得到}
			对于$n > m$项，魏尔斯特拉斯使用了复杂的三角恒等式和不等式估计，最终得到：
			\[
			|S_2(m)| \geq \frac{2}{\pi} (ab)^m - \varepsilon_m,
			\]
			其中$\varepsilon_m$是一个当$m \to \infty$时趋于0的项。
		\end{enumerate}
		
		\subsection*{综合估计}
		
		结合两部分估计：
		\[
		|Q(h_m)| \geq |S_2(m)| - |S_1(m)| \geq \frac{2}{\pi} (ab)^m - \varepsilon_m - \pi \frac{(ab)^m}{ab - 1}.
		\]
		
		由原始条件$ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$，可得：
		\[
		\frac{2}{\pi} - \frac{\pi}{ab - 1} > 0.
		\]
		因此，当$m \to \infty$时，$|Q(h_m)| \to \infty$，证明$W(x)$在$x_0$处不可微。由$x_0$的任意性，$W(x)$在$\mathbb{R}$上处处不可微。
	\end{proof}
	
	\section{函数图像与性质}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				width=0.8\textwidth,
				height=0.4\textwidth,
				xmin=-1, xmax=1,
				ymin=-2, ymax=2,
				xlabel={$x$},
				ylabel={$W(x)$},
				title={魏尔斯特拉斯函数近似 ($a=0.5, b=7$, 求和上限 $N=5$)},
				grid=major,
				samples=500
				]
				\addplot[blue, thick, domain=-1:1] {0.5^0*cos(7^0*pi*x) + 0.5^1*cos(7^1*pi*x) + 0.5^2*cos(7^2*pi*x) + 0.5^3*cos(7^3*pi*x) + 0.5^4*cos(7^4*pi*x) + 0.5^5*cos(7^5*pi*x)};
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
		\caption{魏尔斯特拉斯函数的有限项近似，已显示出高度震荡和不可微的特性}
	\end{figure}
	
	\section{历史意义与结论}
	
	魏尔斯特拉斯函数的构造是分析学历史上的一座里程碑，它彻底澄清了连续性与可微性之间的关系，推动了19世纪末20世纪初实分析基础的严格化发展。虽然后世数学家简化了证明条件，但魏尔斯特拉斯的原始推导方法具有重要的历史价值和数学意义。
	
	\section*{参考文献}
	\begin{enumerate}
		\item Weierstrass, K. (1872). \textit{Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen}. Königliche Akademie der Wissenschaften.
		\item Weierstrass, K. (1894). \textit{Mathematische Werke}. Band II.
		\item Hardy, G. H. (1916). \textit{Weierstrass's Non-Differentiable Function}. Transactions of the American Mathematical Society.
	\end{enumerate}
	